Niels Henrik Abel, sfortunato scopritore di una formula algebrica che non c’è

di Francesco Lamendola - 23/06/2013

La difficoltà in cui si sono imbattuti i matematici che si sono cimentati per primi nella risoluzione delle equazioni polinomiali di grado superiore al secondo è stata quella di trovare una formula risolutiva; formula che invece esiste, appunto, per quelle di secondo grado.

Per le equazioni di terzo e quarto grado, effettivamente, una formula risolutiva esiste, ma è di difficile applicazione pratica; ma per le equazioni di grado superiore al quarto le cose si fanno ancora più complicate, perché è stato dimostrato, dopo molte ricerche, che una formula risolutiva non esiste.

Come è stato osservato (cfr., per esempio, il volume di Dario Palladino e Stefano Scotto, «Orizzonti della matematica on line. Algebra 2», Milano, Casa Editrice G. Principato, 2011, p. 217), questo risultato è dovuto in parte al matematico italiano Paolo Ruffini (1765-1822) e poi, soprattutto, con maggior rigore e generalità, al giovane e sfortunatissimo matematico norvegese Niels Henrik Abel (1802-1829), il quale, inizialmente, si illudeva, al contrario, di aver trovato appunto la formula per risolvere le equazioni di quinto grado e di legare per sempre, grazie a tale scoperta, il suo nome alla storia della matematica.

Sconcertante appare il teorema di Abel-Ruffini perché, mentre per vedere se una formula esiste, è sufficiente, di solito, esibirla e controllare che funzioni, Ruffini e Abel hanno dimostrato che, per le equazioni almeno di quinto grado, tale formula non c’è, ossia che nessun procedimento, per quanto ingegnoso, potrà mai consentire di determinarla. Si tratta, pertanto, di un teorema paradossale, che non illustra una formula, ma l’impossibilità di una formula.

A dire il vero, e questo si tende inconsciamente a dimenticarlo, i risultati di impossibilità, in matematica, sono tutt’altro che rari; né si tratta di qualche cosa di particolarmente misterioso, perché il lavoro del matematico è quello di precisare gli strumenti a disposizione e non di indagare direttamente sull’essenza del mondo dei numeri – essenza su cui, come è noto, esistono pareri assai discordanti, raggruppabili nelle due principali scuole di pensiero dei “realisti”, i quali, come Platone, credono che gli enti della matematica corrispondano a oggetti realmente esistenti, e degli “idealisti”, i quali, al contrario, credono che essi esistano solo nella dimensione dell’astrazione logica.

Abbiamo già avuto occasione di trattare tali questioni, perciò non ci soffermeremo ulteriormente su questo punto, rimandando il lettore ad alcuni articoli precedenti (in particolare: «Il mondo matematico di Platone è “reale”? Riflessioni sulla prospettiva di Roger Penrose», consultabile sul sito di Edicolaweb; ed «Esiste nel mondo qualcosa di infinito? Tra filosofia e paradossi matematici», sul sito di Nwo). In questa sede ci basta evidenziare, con Palladino e Scotto, che non deve stupire l’impossibilità verificata da Ruffini e Abel per la risoluzione delle equazioni di quinto grado, giacché la matematica non può che prendere atto di come, a partire da certi strumenti, non si possano ottenere certi risultati.

Infatti, indipendentemente dalle opinioni filosofiche che si possiedono intorno alla natura effettiva degli enti matematici, a cominciare dai numeri – discorso nel quale si deve sempre ricordare come il concetto di “reale” non ha niente a che fare con quello di “esistente”: perché i numeri, certamente, esistono, salvo poi vedere se corrispondano a degli enti reali; così come anche i sogni certamente esistono, ma è tutto da dimostrare se essi siano qualche cosa di “reale” in senso oggettivo -, resta il fatto che la matematica è lo sforzo di costruire strumenti d’indagine concettuale e non il mondo degli enti matematici in se stesso, del quale, se pure esiste, gli strumenti elaborati dalla matematica non possono che dare una descrizione, per così dire, “esterna”.

Essi, infatti, per adoperare un linguaggio kantiano, non sono il noumeno, non sono la cosa in sé della matematica, ma solo il fenomeno, ossia la cosa come appare a noi; e nemmeno il più geniale matematico potrebbe modificare questo stato di cose: il fatto, cioè, che il suo lavoro consiste nell’elaborare strumenti di indagine sul mondo della quantità e dei numeri, e non già nel definire l’essenza di quel mondo.

Possibile e impossibile, pertanto, in matematica, non corrispondono a una realtà oggettiva ed esistente, da qualche parte, nel mondo della quantità, ma solo a una realtà soggettiva, relativa agli strumenti che la matematica è capace di approntare per esplorare quel mondo. Si tratta pur sempre di strumenti umani, cioè scaturenti da una logica umana: la matematica, come appunto la logica, può dirci soltanto se una formula è possibile o impossibile dal punto di vista del rigore concettuale, non se sia possibile in una supposta dimensione assoluta, esistente per se stessa.

Ora, così come la logica può solo dirci se una proposizione è possibile o impossibile, cioè se possiede un senso concettuale compiuto e non contraddittorio - quando Bertrand Russell diceva ai suoi alunni: «In questa stanza non ci sono ippopotami», Ludwig Wittgenstein, maliziosamente, si chinava sotto il banco per controllare se così fosse -, allo stesso modo la matematica può solo dirci se una formula è possibile o impossibile.

Non bisogna scambiare un enunciato della logica o una formula matematica per i contenuti effettivi cui essi si riferiscono. Per quel che ne sappiamo, nel mondo della pura logica degli ippopotami potrebbero effettivamente nascondersi sotto il banco di uno studente, perché un tale enunciato non è LOGICAMENTE assurdo; lo è solo dal punto di vista dei contenuti, poiché noi sappiamo, per esperienza (altro concetto che, dal punto di vista della logica formale, ha pochissimo valore dimostrativo), che un ippopotamo non riuscirebbe ad allogarsi in uno spazio tanto modesto. Allo stesso modo, noi possiamo solo affermare, grazie al teorema di Abel-Ruffini, che non esiste il modo di determinare una formula per le equazioni di quinto grado ed oltre, qualunque procedimento si metta in campo. A rigore, perciò, non abbiamo detto nulla circa una impossibilità oggettiva e radicale, nella dimensione “pura” degli enti matematici. Forse, ammesso che una tale dimensione esista, esiste anche la formula per le equazioni di quinto grado, così come per quelle di grado superiore al quinto; soltanto che la matematica, in quanto costruzione umana, non è in grado di determinarla: non almeno una formula che sia esprimibile tramite radicali.

Ma chi era questo giovane matematico norvegese che, dopo lungo studio, pervenne ad un risultato così strano e apparentemente paradossale?

Egmont Colerus, il notevole scrittore, umanista e matematico austriaco (1888-1939), autore di una conosciutissima «Piccola storia della matematica. Da Pitagora a Hilbert» (traduzione dal tedesco Spartaco Casavecchia  Milano, Arnoldo Mondadori Editore, 1960, pp. 259-62), così ne delinea la solitaria, malinconica figura e riassume le vice de che lo portarono alla formulazione della sua teoria (detta oggi, come si è visto, di Abel-Ruffini):

«Abel, figlio di un pastore protestante, nacque a Finhö in Norvegia, e fu segnato in triplice modo dal destino in un’età in cui gli altri ragazzi, con le guance rosse e con i loro sogni di felicità futura, si trastullano in mezzo alla neve. Povertà, consunzione e malinconia lo accompagnarono come tetri tutori in una vita che indipendentemente dalla sua innata capacità, non doveva essere una vera vita. Malgrado tutto, ardeva nel debole petto di questo nordico un indomabile spirito faustiano, che si rivolse in modo particolare alle matematiche, e lo rese capace fin da giovinetto di penetrare addentro nella nostra scienza, benché puro autodidatta. Già nel 1822 lo troviamo all’università di Cristiania, e nel 1823 una scoperta di interesse mondiale sembra portare per la prima volta un po’ di luce in quest’anima tetra. Egli crede infatti di aver trovato per primo nella storia della matematica il metodo generale per la risoluzione dell’equazione di quinto grado. La tragedia degli anni seguenti è a mala pena concepibile. Possiamo solo intuire come nelle notti di febbre egli abbia visto la sua “scoperta” cadere poco alla volta in pezzi, e perciò sparire per sempre e perdersi in fumo la felicità per un istante sognata. Disperato, nel 1824 egli porta il colpo decisivo contro se stesso, dimostrando, anche questa volta per primo, che l’equazione di quinto grado non è risolubile con estrazioni di radice. Il suo destino prende un’altra piega. Si riconosce subito “in alto luogo” l’enorme importanza di questo risultato apparentemente negativo, che pone una volta per tutte un limite ben definito alle indagini ed evita tentativi superflui, e gli viene destinata una sovvenzione degna di questo nome. Nuove speranze di Abel, il quale va a Berlino a trovare l’architetto Crelle, fondatore dal 1826 del famoso “Chrellesches Journal”, pubblicazione matematica di prim’ordine,e personaggio assai meritevole per tutta la sua attività di organizzatore nel campo della matematica. In questa rivista Abel pubblica le sue fondamentali scoperte sulle equazioni di quinto grado e sulla convergenza della serie binomia, quest’ultimo studio eseguito sotto l’influenza di Cauchy. Nel 1826 Abel si reca a Parigi per visitare il già celeberrimo Cauchy, che egli onorava di lontano come maestro. Ma Cauchy, che aveva un carattere spesso poco in armonia con le opere e andava soggetto a frequenti attacchi d’invidia, e di cattiveria, non volle riceverlo. Anche questa tragedia si può difficilmente concepire. Con gli ultimi centesimi della sua sovvenzione, col provento penosamente raggranellato di qualche lezione, Abel era arrivato fino a Parigi per trovare tutte le porte chiuse proprio là dove, oltre ogni interesse, lo spingeva anche una grande sete spirituale. Ma neanche ora l’infelice giovane, il cui male peggiora di continuo, si lascia piegare. Al contrario, il suo genio si eleva ancora una volta in un’impresa gigantesca, scoprendo e pubblicando il teorema che ha preso il suo nome, e rappresenta una generalizzazione del teorema di Eulero sulla somma degli integrali ellittici.[…] Abel riuscì a far luce su questi integrali e a eseguire la divisione della “lemniscata” (una curva di ordine superiore), divisione che è in stretto rapporto con gl’integrali ellittici. Durante quest’epoca ottenne anche notevoli risultati nel campo dei numeri complessi. Nel viaggio di ritorno da Parigi Abel aveva l’intenzione di conferire cin Gauss, la cui fama era allora già allo zenit, ma la sua esperienza con Cauchy lo aveva talmente scoraggiato, che all’improvviso lo assalirono scrupoli così forti da arrivare fino alla paura. Mortalmente ammalato, corse a Cristiania, dove si aggravò per breve tempo soffrendo il freddo e la fame per trovare un impiego, sia pur modesto. Ma anche quest’umile aspirazione gli fu negata. Morì nel 1829. Pochi giorni dopo la sua morte, arrivò a Cristiania una lettera di chiamata a Berlino, di grande valore materiale e morale, e nel 1830 l’Accademia francese delle scienze assegnò un premio alla sua memoria.

Ci risparmiamo ogni commento a questo inferno, in cui venne a trovarsi un genio che con n po’ di buona volontà avrebbe dovuto essere riconosciuto come tale. Ogni lettore della rivista di Crelle, e cioè tutto il mondo scientifico, doveva saperlo; anche Gauss, questo misteriosissimo tra tutti gli uomini eminenti, del quale solo dopo la sua morte fu appurato che conosceva per conto proprio già nel primo decennio del secolo decimo nono, cioè con venti anni di anticipo, quasi tutti i risultati ottenuti da Abel, e li aveva taciuti. Meglio di tutti lo sapeva però Jacobi, il quale fu probabilmente causa inconsapevole della prematura morte di bel, poiché questi si consumò in una lotta accanita nella costruzione della teoria degli integrali ellittici studiati anche da Jacobi. Non vogliamo però spargere lacrime farisaiche, poiché ognuno di noi ha avuto occasione di aiutare indegni e di piantare in asso persone meritevoli; ed è quasi un destino, per molti uomini, quello di essere giustamente valutati, senza che ci si risolva a far nulla per loro.»

Occorre ricordare, a quest’ultimo proposito, che un poeta della grandezza di Leopardi si vide prospettare, senza che poi se ne facesse nulla, come tutta sistemazione accademica, una cattedra di mineralogia a Parma e una cattedra di scienze naturali a Bologna?

Tuttavia, la storia di Abel è interessante, perché mostra come anche la matematica possa essere vissuta con l’intensità di una passione totale e come uno studioso dalla perfetta coerenza e integrità morale non arretri nemmeno davanti alla prospettiva di diventare il peggior nemico delle proprie ricerche e delle proprie speranze, arrivando a dimostrare proprio l’impossibilità di quella formula algebrica dalla quale si era ripromesso la gloria e un minimo di sicurezza economica.

Ma, come giustamente osserva Colerus, è meglio non dire altro, per non scivolare nel fariseismo o nel pietismo a buon mercato…