Breve storia dell’infinito

di Giovanni M. Tateo - 14/06/2012

Fonte: centrostudiparadesha

Affascinante viaggio nella storia dell’idea di infinito, tra matematica – soprattutto -, metafisica, teologia e cosmologia, questo straordinario saggio di storia e filosofia delle cosiddette scienze esatte. Paolo Zellini, docente di Analisi numerica all’Università di Roma, sa agilmente condurci in quel vasto panorama di concezioni che va dai Pitagorici, Aristotele e Platone, passando per quelle di san Tommaso d’Aquino, Raimondo Lullo, Giordano Bruno, Niccolò Cusano, e poi Cartesio, Leibniz, toccando inoltre Hegel, Schopenhauer, Heidegger, e giungendo infine a Cantor, Dedekind, Russell, Gödel, e tantissimi altri protagonisti dell’esplorazione filosofica e scientifica dell’infinitamente grande e dell’infinitamente piccolo.

Ce ne occupiamo, oltre che per il valore del testo in sé e per sé, soprattutto perché siamo fermamente persuasi che la cultura della Tradizione, senza consentire affatto che la si releghi nell’ambiguo e sterile ambito dell’irrazionale – che a torto si considera come il dominio proprio della conoscenza sacra -, possa e debba esprimere le sue vedute sulle scienze in generale, e con particolare riferimento a quella della matematica, tra tutte la più divina, secondo l’insegnamento sapienziale del sommo Pitagora.

Prima di illustrare alcuni dei principali temi trattati nel libro, nonché alcuni tra quelli che ci hanno più colpito e stimolato, desideriamo rilevare il raffinato espediente dell’autore di accompagnare il proprio excursus da puntuali citazioni tratte da L’uomo senza qualità di Musil e dal Don Chisciotte di Cervantes, senza contare alcuni passi significativi di Dostoevskij. Non si tratta certamente solo di un modo di impreziosire un lavoro di per sé già assai brillante, ma, crediamo, di esprimere l’idea secondo cui la matematica, o la scienza in generale, non solo non costituisce un ambito teoretico ermeticamente chiuso ed impermeabile a qualunque sollecitazione proveniente da altri contesti culturali – tipo appunto la narrativa -, ma non è, soprattutto, un regno astratto del tutto avulso dalla vita concreta dell’essere umano, soprattutto intesa nella sua dimensione interiore, e nella sua prospettiva esistenziale di ricerca del significato ultimo della realtà.

Si parte, quindi, dall’antica idea ellenica dell’infinito – necessariamente correlata al principio del Limite, da cui ovviamente dipende tutto ciò che è finito – concentrandosi perlopiù sugli enunciati di Aristotele, per il quale l’infinito è unicamente un’illimitata potenza di esistere, ossia la possibilità degli enti innumerevoli di poter sussistere e di poter mutare. Esso è la radice del divenire, ed è l’attributo di quanto può incessantemente accrescersi o diminuire, e che, conseguentemente, non è mai definitivamente completo. Per quest’ultimo motivo, in particolare, l’infinito è l’origine, la causa del finito in quanto incompiuto e perfettibile; ed essendo la condizione primaria della catena inesauribile dei mutamenti indagabili, esso è anche l’indefinito, l’indeterminato; e pertanto, soprattutto quale primigenio caos sostanziale, costituisce l’inconoscibile per eccellenza, e rappresenta perciò il dominio oscuro dell’avversata e temibile irrazionalità.

Sono dunque affatto distinti l’infinito potenziale e l’infinito in atto, ossia quello effettivamente realizzato o compiuto.

Sarebbe stato opportuno citare, a questo punto, quanto Platone scrive sull’Uno nel suo Parmenide, giacché così si sarebbe reso evidente che l’Assoluto è sia Atto che Potenza assoluti, nel senso che Esso è nel contempo Possibilità infinita, infinito potere di Essere e di far esistere tutti gli enti possibili; così come è compimento, realizzazione totale, infinita di qualunque possibilità. L’Essere Divino è sia il presupposto e la possibilità di tutti gli innumerevoli enti che il fine ed il termine ultimo a cui tende il loro incessante divenire.

Una precisazione: l’autore cita (p. 76) una testimonianza del pitagorico Liside (fr. Diels-Kranz 46, 4), riportando che per costui “Dio potesse essere pensato come un numero irrazionale”; in verità, l’espressione άριθμόν άρρητον significa precisamente “numero inesprimibile” o “indicibile”, o anche “misterioso” e “sconosciuto”, e l’aggettivo άρρητος è appunto un termine misterico ampiamente in uso negli ambienti delle antiche confraternite iniziatiche occidentali. Zellini segue sostanzialmente, dunque, l’interpretazione della studiosa Maria Timpanaro Cardini – a cui si deve una notevole e ben nota raccolta commentata di frammenti e testimonianze dell’antico Pitagorismo -, secondo cui άρρητος è appunto sinonimo di “irrazionale”. In realtà, qui, non si tratta affatto di quanto si pone al di sotto della ragione, ma di ciò che, all’opposto, la supera verso l’alto, con un’intuizione immediata, priva di alcun procedimento. Il Dio di Liside, quindi, è certamente l’Uno di Platone, l’Unità Divina nella quale l’infinita molteplicità si trova implicata anteriormente alla propria manifestazione ontologica; perciò il “numero indicibile” è appunto questa stessa infinità considerata nel suo stato di occultamento nell’Uno, il quale ne è l’origine e la sintesi inesprimibili.

Sarebbe stato assai interessante, inoltre, se fosse stato preso in considerazione il discorso iniziale di Plotino in Enneadi VI, 6, 18, giacché qui egli afferma che nell’Intelligibile può tranquillamente sussistere il numero infinito, e crediamo che ciò sia giustificato dalla notevole differenza tra il dominio puramente noetico dell’Intelligibile stesso e quello strettamente dianoetico a cui appartiene la scienza matematica. Secondo la nostra interpretazione, Plotino lì intende che la Mente Divina, essendo illimitata nel proprio potere di “concepire”, ed eterna, genera l’intera possibile molteplicità illimitata degli enti intelligibili ed eterni, che è appunto ciò che si potrebbe definire «numero infinito», in quanto tale molteplicità immensurabile è costituita da unità, ossia da essenze singole, perfettamente determinate, irripetibili ed inconfondibili. Tale argomento è facilmente dimostrabile in quanto: 1) la molteplicità degli enti sia come possibilità che come fattualità è evidente; 2) l’eternità esclude necessariamente il tempo quale condizione della numerabilità in divenire; ossia la possibilità di contare in successione o di poter pensare sempre un numero più grande di un altro già dato; 3) è del tutto inammissibile, date le premesse, l’ipotesi che Dio, pur essendo infinito, possa concepire solo un numero limitato di idee eterne – a meno che non si tratti di quelle universali, che Pitagora e Platone insegnavano essere dieci soltanto, cosa che lo stesso Aristotele non aveva compreso, non tenendo buon conto della distinzione tra universale e particolare. In definitiva, quindi, solo il «numero infinito» di Plotino, avente carattere divino, deve effettivamente considerarsi quale reale «infinito attuale».

Chi invece si illuse di poter affermare l’esistenza effettiva, sul piano dianoetico, del numero o dei numeri infiniti – i cosiddetti “transfiniti” -, fu Georg Cantor, sulla base di alcuni ragionamenti, che eufemisticamente potrebbero esser definiti paralogismi.

Condividiamo, quindi, senza alcun dubbio l’atteggiamento di Leopold Kronecker, suo collega ed avversario, a riguardo, rimarcato assai significativamente: “Kronecker, che capeggiò fino alla morte l’opposizione ad ogni tentativo di fondazione dell’infinito attuale, giunse ad attribuire alle innovazioni di Cantor qualità sataniche” (p. 217). In effetti, giureremmo che questa è stata esattamente la stessa spiacevolissima impressione che esse hanno suscitato anche in noi la prima volta che abbiamo dovuto prenderle in esame. Forse che anche Zellini abbia provato lo stesso immediato e profondo sentimento di orrore intellettuale? Al momento non ci è dato saperlo; tuttavia, ci sembra che egli giudichi l’operato cantoriano quale esito di una tentazione od ispirazione faustiana; l’effetto di una ΰβρις nefasta, la cui nemesi lo stesso Cantor scontò in vita sotto forma di patologia nervosa cronica.

Brevemente, adesso, desideriamo esprimere il nostro disaccordo con l’autore in merito ad un paio di punti. Quando egli afferma che i metodi di Dedekind sono compatibili con la concezione di Platone secondo cui il numero è il risultato dell’azione del Limite sull’Illimitato, o dell’Uno sulla Diade indefinita (pp. 60-61), riteniamo che ciò rischi seriamente di produrre un increscioso equivoco. Partendo dall’accezione puramente metafisica, e primaria, di tali principî e della loro relazione, e trasponendola opportunamente nell’ambito strettamente matematico, si deve dire che Platone*, e prima di lui i Pitagorici**, intendevano affermare che la molteplicità pura, ossia completamente indeterminata – ricordiamo pure che, dal canto suo, Proclo indicava l’intelligibile «molteplicità in sé» quale presupposto immediato del «numero intelligibile» -, produce effettivamente il numero unicamente quando viene completamente plasmata e misurata dall’unità. Il vero numero, quindi, è sempre e solo quello intero, giacché è unicamente per questa sua natura che esso esclude da se stesso qualunque indeterminatezza, che è invece ineliminabile nel caso del calcolo infinitesimale, o di qualunque altro procedimento finisca per invocare numeri non interi, ossia di tipo sostanzialmente irrazionale.

Lo precisiamo in questa sede a esclusivo beneficio del lettore meno avveduto, sapendo bene che l’autore ne è invece pienamente consapevole, in quanto conosce perfettamente I principi del calcolo infinitesimale di René Guénon, avendone anche firmato la postfazione nella sua più recente edizione, sempre per Adelphi.

Per le medesime ragioni anzidette, non concordiamo sull’asserzione secondo cui lo stesso Platone, Teone di Smirne e Proclo avrebbero contemplato alcuni procedimenti di calcolo analoghi a quelli di Dedekind (p. 62); e rimandiamo in proposito a questo nostro articolo: Arturo Reghini, Dei numeri pitagorici, vol. II.

Di particolare interesse, inoltre, è il capitolo in cui ci si occupa di quella particolare accezione di infinito secondo cui ogni ente sarebbe praticamente impossibile da conoscere integralmente – per non dire che non lo sarebbe assolutamente -, in quanto prodotto o risultato di un’infinità di elementi, rapporti e fattori concomitanti assai difficilmente individuabili con la precisione desiderabile. Per parte nostra, a questo proposito, non possiamo che esprimere un certo disappunto, giacché, se tale idea si pretendesse di applicarla così com’è alla conoscenza dei numeri, allora non si potrebbe praticamente affermare di conoscerli affatto. È evidente, invece, che sarebbe assurdo pretendere di considerare ciascun numero come il risultato simultaneo di un’infinità di operazioni matematiche differenti e coinvolgenti nel loro complesso un altrettanto enorme insieme di numeri. In proposito, ci vengono subito in mente alcune delle più recenti e fantasiose elucubrazioni teoriche della fisica quantistica, le quali, per tentare di spiegare gli eventi subatomici del nostro universo finito, ricorrono all’ipotesi dell’infinità dei possibili (o solo immaginabili?) – ed ovviamente indeterminati ed indeterminabili – universi paralleli (si veda, ad esempio, l’articolo: Un paradosso impeccabile: gli universi paralleli); finendo così, da un lato, per privare di ogni senso l’esistenza così come effettivamente la sperimentiamo e conosciamo; dall’altro, per annichilire la stessa validità conoscitiva – già assai limitata e precaria – della scienza moderna. È perciò dunque, che si deve necessariamente far valere contro tale erronea prospettiva dell’infinito la necessaria concezione del finito;per cui, ritornando alla sola matematica, ciascun numero è solo e soltanto l’insieme delle unità che effettivamente lo costituiscono, prescindendo interamente dalla superflua, e disastrosamente fuorviante, immaginazione degli sterminatamente vari modi in cui esso potrebbe essere calcolato.

In effetti, ogni numero noto non può che essere considerato sempre e soltanto alla stregua di un effettivo calcolato, e non di un calcolabile, giacché appunto la sua calcolabilità teorica è indefinita ed inesauribile, e come tale finirebbe inevitabilmente per eclissare, per assurdo, la realtà immediata del numero stesso, pure già evidentemente data razionalmente. Allo stesso modo, tale considerazione vale anche per ogni numero ignoto, giacché di ogni incognita non si può di volta in volta considerare, puramente in astratto, la vastità immensa della sua ipotetica ed eventuale calcolabilità, bensì, necessariamente, soltanto le possibilità effettive della sua determinazione nel contesto preciso dell’insieme delle condizioni date dallo specifico problema in cui essa è precisamente posta. Ogni numero intero è necessariamente solo numero in atto, non in potenza, e pertanto è sempre precisamente determinato e perfettamente conoscibile. Anche il pitagorico Filolao, ad esempio, metteva infatti in guardia dall’anzidetto errore: “[...] in nessun modo potrebbe esserci oggetto conoscibile, se tutte le cose fossero illimitate” (fr. Diels-Kranz 44 B 3).

Nel capitolo in questione, l’autore affrontava il problema ponendosi nella prospettiva specifica della «metamatematica», ossia di quella moderna disciplina che si occupa di indagare le strutture logiche della matematica stessa e delle forme od espressioni codificate appositamente per esprimerle, ossia, in altre parole, del linguaggio scientifico con cui le verità ed i problemi matematici vengono definiti; con particolare interesse, evidentemente, per le questioni relative alla dimostrabilità dei teoremi. Tutto ciò ci conduce al successivo capitolo incentrato sui teoremi metamatematici di Kurt Gödel sull’incompletezza intrinseca dei sistemi formali della matematica. Finora, probabilmente, il volto più problematico, o addirittura più drammaticamente critico, dell’infinito, o dell’indeterminato, nella scienza esatta per eccellenza. In estrema sintesi, poiché qui non intendiamo affrontare il problema, dato che questa sola questione, per la sua estrema complessità ed importanza, è stata oggetto di numerosi e significativi studi specifici, ci limitiamo a ricordare che Gödel riuscì a dimostrare che, all’interno di un qualsivoglia sistema formale, dalle sue proprietà non è possibile dedurre né gli assiomi che lo caratterizzano, e né la coerenza interna che dovrebbe garantirne la validità. Una catastrofe epocale! Anzi no; infatti, Zellini dedicata il capitolo conclusivo alla notevole disinvoltura con cui gli ambienti della matematica ufficiale hanno disinnescato l’ordigno esplosivo posto da Gödel nel cuore del formalismo matematico moderno. In maniera estremamente sottile, se ne indoviniamo correttamente il pensiero, l’autore denuncia, o comunque rimprovera, tale incongruo aggiramento dell’ostacolo apparentemente insormontabile costituito dai teoremi sull’incompletezza, evidenziando come tale discutibile risposta da parte delle istituzioni accademiche dipendesse essenzialmente dall’essere la scienza matematica, ormai da tempo, in simbiosi inscindibile con la tecnologia, essendo la sua applicabilità al mondo della tecnica il criterio decisivo per la risoluzione, o l’accomodamento, di alcune crisi di non poco conto. Ci pare venga in qualche modo suggerito, infatti, che la scienza moderna sia esatta unicamente nella misura in cui essa soddisfa l’esigenza della tecnologia di padroneggiare il mondo fisico, il mondo della produzione industriale; pertanto, se le convenzioni, le inesattezze, le incongruenze, o contraddizioni della prima, non ostacolano, o, addirittura, potenziano la seconda, allora tutto è praticamente permesso. E quand’anche la matematica moderna, nella sua fase attuale, sembra rinunciare all’infinito di tipo cantoriano, per ritornare al finito più o meno ordinario – un esempio del quale potrebbe essere quello della matematica binaria che è alla base dell’informatica -, ciò sembra ancora una volta dettato da logiche di tipo essenzialmente utilitaristico, piuttosto che da genuine e profonde esigenze teoretiche.

Ad ogni modo, Zellini conclude l’opera riferendosi alla “flessibilità” della matematica moderna – che non ci sembra né aborrire né santificare -, e, d’altro canto, sulle sue rivoluzioni e crisi epocali, egli si è espresso soprattutto nel suo La ribellione del numero, di cui ci piacerebbe occuparci in futuro. In quell’occasione, e probabilmente anche in altre simili, avremo certamente modo di approfondire il suo pensiero su tali spinose questioni, nonché di esprimere tutte quelle ulteriori e necessarie considerazioni che, per ragioni di opportunità, non hanno trovato spazio in questa sede.

Note:

* Marie-Dominique Richard, L’insegnamento orale di Platone. Raccolta delle testimonianze antiche sulle “dottrine non scritte” con analisi e interpretazione, prefazione di Pierre Hadot, traduzione di Giovanni Reale, Bompiani, Milano, 2008, passim.

** Pitagorici antichi. Testimonianze e frammenti, a cura di Maria Timpanaro Cardini, presentazione di Giovanni Reale, Bompiani, Milano, 2010, passim.

Paolo Zellini, Breve storia dell’infinito, Adelphi, Milano, 2006 (1ª ediz. 1980), pp. 261.